Cartographier la troisième dimension consiste à étendre notre paysage mathématique du plan plat $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}^3$ en établissant trois droites orientées mutuellement perpendiculaires (les axes x, y et z) qui se croisent à l'origine $O$.
Tout comme nous utilisons la série de Maclaurin de la fonction exponentielle, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, pour construire des fonctions complexes à partir de termes polynomiaux simples, nous construisons l'espace 3D en le divisant en huit octants en utilisant trois plans de coordonnées plans de coordonnées (xy, yz et xz). Cette transition nous permet d'identifier n'importe quel point P comme un triplet ordonné (a, b, c), représentant ses distances orientées par rapport à ces plans — passant de la « complexité infinie » d'une courbe de flocon 2D courbe de flocon à la structure volumétrique du monde physique.
La géométrie de $\mathbb{R}^3$
Pour identifier les points dans l'espace, nous fixons trois droites orientées passant par $O$ et perpendiculaires entre elles, appelées l'axe x, l'axe yet l'axe z. Leur orientation suit la règle de la main droite: si vous pliez les doigts de votre main droite du côté positif de l'axe x vers le côté positif de l'axe y, votre pouce pointe vers l'axe z positif (Figure 2).
Les trois axes de coordonnées déterminent les trois plans de coordonnées : le plan xy ($z=0$), le plan yz ($x=0$), et le plan xz ($y=0$). Ces plans divisent l'espace en huit parties appelées octants. Le premier octant est celui où toutes les coordonnées sont positives.
Pour tout point $P$, le triplet $(a, b, c)$ contient la coordonnée x ($a$), coordonnée y ($b$), et coordonnée z ($c$). Ce sont les distances orientées depuis les plans yz, xz et xy respectivement.
Analogie cartographique mathématique
Localiser un point $P(a, b, c)$ en additionnant ses composantes est conceptuellement similaire à additionner les termes d'une série. Considérons le calcul de la somme de la série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Cela nécessite de reconnaître le motif familier de la série de Maclaurin de $e^x$.
La série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ est liée à $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Pour la résoudre, nous manipulons l'indice pour correspondre à la forme familière :
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Tout comme nous identifions les ingrédients d'une série entière, nous identifions les axes et les plans pour déterminer une position spatiale.
Le piège de la dimension
Remarque : Lorsqu'une équation est donnée, nous devons comprendre, selon le contexte, si elle représente une courbe dans $\mathbb{R}^2$ ou une surface dans $\mathbb{R}^3$.
- Équation $y=5$ : Dans $\mathbb{R}^1$, c'est un point. Dans $\mathbb{R}^2$, c'est une ligne horizontale. Dans $\mathbb{R}^3$, c'est un plan entier plan parallèle au plan de coordonnées xz (Figure 7).
- Équation $y=x$ : Dans $\mathbb{R}^3$, puisque $z$ est « libre », cette équation représente un plan vertical passant par l'axe z, coupant le plan xy selon la droite $y=x$.